题目

已知圆M的方程为 ,点Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A、B,试求弦AB的中点P的轨迹方程.
已知圆M的方程为X2+（Y-2)2=1 ,点Q是x轴上的动点,QA、QB分别切圆M于A、B,试求弦AB的中点P的轨迹方程.
分析：本题出现“切点弦”.我们考虑推导并利用圆的切点弦所在直线的方程.
由已知得M（0,2）,圆M方程为X2+Y2-4Y+3=0①
设Q（t,0）,则由①得切点弦AB所在直线方程为tX-2Y+3=0 ② ……
上题中的答案第二部②的公式是怎么得来的?

提问时间：2020-10-17

答案

过圆x²+y²=r²外一点P(x0,y0)作切线PA,PB,A(x1,y1),B(x2,y2)是切点,则过AB的直线xx0+yy0=r²,称切点弦方程.
证明:x²+y²=r²在点A,B的切线方程是xx1+yy1=r²,xx2+yy2=r²,(不要用P与A,B求斜率,用A,B与圆心求的负倒数)
∵ 点P在两切线上,∴ x0x1+y0y1=r²,x0x2+y0y2=r²,此二式表明点A,B的坐标适合直线方程xx0+yy0=r²,而过点A,B的直线是唯一的,∴ 切点弦方程是xx0+yy0=r².
说明:① 切点弦方程与圆x²+y²=r²上一点T(x0,y0)的切线方程相同.
② 过圆(x-a)²+(y-b)²=r²外一点P(x0,y0)作切线PA,PB,切点弦方程是(x-a)(x-x0)+(y-b)(y-y0)=r²
也就是说你得方程无论是代A还是代B进去都一样,简单的是这样,复杂的也一样