题目

已知：二次函数y=x²+2ax-2b+1和y=-x²+（a-3）x+b²-1的图象都经过x轴上两个不同的点M，N，求a，b的值．

提问时间：2020-10-17

答案

依题意，设M（x₁，0），N（x₂，0），且x₁≠x₂，
则x₁，x₂为方程x²+2ax-2b+1=0的两个实数根．
∴x₁+x₂=-2a，x₁•x₂=-2b+1，
∵x₁，x₂又是方程-x²+（a-3）x+b²-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=a-3，x₁•x₂=1-b²，
∴

−2a＝a−3 −2b+1＝1−b2

解得

a＝1 b＝0

或

a＝1 b＝2

当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，
∴a=1，b=0舍去；
当a=1，b=2时，二次函数为y=x²+2x-3和y=-x²-2x+3符合题意；
∴a=1，b=2．

两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N，将两个解析式转化为一元二次方程，比较两个方程的根与系数关系，得出方程组，解方程组求a、b的值，再结合方程有两个不等根进行讨论．

本题考点：抛物线与x轴的交点．

考点点评：本题考查了二次函数解析式与一元二次方程的根与系数关系的联系．