题目

设向量a=（sinx,cosx）,向量b=（cosx,cosx）,x∈R,函数f（x）=向量a*（向量a+向量b）问：
（1）求函数f（x）的最大值与最小值周期?（2）求使不等式f（x）>=3/2成立的x的取值集合.

提问时间：2020-10-17

答案

向量a+向量b=(sinx+cosx,2cosx)
f（x）=向量a*（向量a+向量b）
=sinx*(sinx+cosx)+cosx*(2cosx)
=√2/2*sin(2x+∏/4)+3/2.
当sin(2x+∏/4)=1时,f(x)有最大值,
f(x)最大=√2/2+3/2=(3+√2)/2.
当sin(2x+∏/4)=-1时,f(x)有最小值,
f(x)最小=3/2-√2/2=(3-√2)/2.
函数f（x）最小值正周期T=2∏/2=∏.
2)f(x)≥3/2,则有
√2/2*sin(2x+∏/4)+3/2≥3/2,
sin(2x+∏/4)≥0,
2K∏≤2X+∏/4≤2K∏+∏,
K∏-∏/8≤X≤K∏+3∏/8,K∈Z.
求使不等式f（x）>=3/2成立的x的取值集合是:
{X|K∏-∏/8≤X≤K∏+3∏/8,K∈Z}