题目

当x>0时,求证sinx>x-x^3/6.
我是文科生.用导数解,但是别太复杂.求导的次数别太多额.

提问时间：2020-10-17

答案

证明：
（1）先证明 x>0时,x>sinx（需要用到此结论）
构造函数F(x)=x-sinx
则 F(0)=0
F'(x)=1-cosx≥0恒成立
∴ F(x)在x>0时是增函数
∴ F(x)>F(0)=0
即 x>sinx
（2）
构造函数
f(x)=sinx-x+x³/6
则f(0)=0
f'(x)=cosx-1+x²/2=x²/2-2sin²(x/2)=2[(x/2)²-sin²(x/2)]=2[x/2-sin(x/2)]*[x/2+sin(x/2)]
由（1）则,f'(x)>0恒成立
∴ f(x)在x>0时是增函数
∴ f(x)>f(0)=0
即 sinx>x-x³/6