题目

已知函数f（x）=2^x，g（x）=-x²+2x+b（b∈R），记h(x)＝f(x)−

1

f(x)

提问时间：2020-10-17

答案

（本小题满分14分）
（Ⅰ）函数h(x)＝2x−

1

2x

为奇函数…（2分）
现证明如下：
∵函数h（x）的定义域为R，关于原点对称．…（3分）
由h(−x)＝2−x−

1

2−x

＝

1

2x

−2x＝−(2x−

1

2x

)＝−h(x)…（5分）
∴函数h(x)＝2x−

1

2x

为奇函数…（6分）
（Ⅱ）据题意知，当x∈[1，2]时，f（x）_max=f（x₁），g（x）_max=g（x₂）…（7分）
∵f（x）=2^x在区间[1，2]上单调递增，
∴f(x)max＝f(2)＝22＝4，即f（x₁）=4…（8分）
又∵g（x）=-x²+2x+b=-（x-1）²+b+1
∴函数y=g（x）的对称轴为x=1
∴函数y=g（x）在区间[1，2]上单调递减
∴g（x）_max=g（1）=1+b，即g（x₂）=1+b…（9分）
由f（x₁）=g（x₂），
得1+b=4，∴b=3…（10分）
（Ⅲ）当x∈[1，2]时，2x(22x−

1

22x

)+m(2x−

1

2x

)≥0
即m（2^2x-1）≥-（2^4x-1），
∵2^2x-1＞0，∴m≥-（2^2x+1）…（12分）
令k（x）=-（2^2x+1），x∈[1，2]
下面求函数k（x）的最大值．
∵x∈[1，2]，∴-（2^2x+1）∈[-17，-5]，
∴k（x）_max=-5…（13分）
故m的取值范围是[-5，+∞）…（14分）