题目

高等代数的：设A是m × n阶实矩阵,证明：秩（A`A）=秩（A）

提问时间：2020-10-17

答案

看方程组①A'AX＝0.与方程组②AX＝0[X是未知n维列向量]
②的解显然是①的解.
现在设X0是①的任意非零实解.A'AX0＝0.两边左乘列向量X0' 得到
X0'A'AX0＝0（实数0） X0'A'AX0＝（AX0）'（AX0）＝0
（AX0）'（AX0）＝[实列向量AX0]的n个分量（都是实数）的平方和＝0（实数0）
每个分量等于0.即AX0＝0（0向量）.X0也是②的解.①,②是同解齐次方程组.
系数矩阵的秩相等（都等于n-（基础解系向量个数））,秩（A`A）=秩（A） .