题目

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面ABC是边长为10的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，且AA₁=12，过底面一边AB，作与底面ABC成60°角的截面面积是______．

提问时间：2020-10-17

答案

如图所示．
过底面一边AB，作与底面ABC成60°角的截面为BCF₁E₁．
作E₁E⊥AB交AB于点E，作F₁F⊥AC交AC于点F．
分别作底面ABC、A₁B₁C₁的边BC、B₁C₁上的高，分别交EF、E₁F₁于点O、O₁．
则O₁O=A₁A=12．
∵tan60°=

O1O

OD

=

12

OD

，解得OD=4

3

．
而AD=5

3

．
∴S_梯形BCFE=

24

25

S_△ABC=

24

25

×

3

4

×102=24

3

．
∴截面的面积=

S梯形BCFE

cos60°

=48

3

．
故答案为：48

3

．

如图所示．过底面一边AB，作与底面ABC成60°角的截面为BCF₁E₁．利用截面的面积=

S梯形BCFE

cos60°

即可得出．

本题考点：棱柱的结构特征．

考点点评：本题考查了二面角的平面角、截面与射影的面积之间的关系、直角三角形的边角关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．