题目

已知集合A={x|x²-5x+4≤0}，B={x|x²-2ax+a+2≤0}，若B⊆A，求实数a的取值范围．

提问时间：2020-10-17

答案

A={x|x²-5x+4≤0}={x|1≤x≤4}．
设f（x）=x²-2ax+a+2，它的图象是一条开口向上的抛物线
（1）若B=ϕ，满足条件，此时△＜0，即4a²-4（a+2）＜0，
解得-1＜a＜2；
（2）若B≠ϕ，设抛物线与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，
且x₁≤x₂，欲使B⊆A，应有{x|x₁≤x≤x₂}⊆{x|1≤x≤4}，
结合二次函数的图象，得

f(1)≥0 f(4)≥0 1≤− −2a 2 ≤4 △≥0

即

1−2a+a+2≥0 42−8a+a+2≥0 1≤a≤4 4a2−4(a+2)≥0

解得2≤a≤

18

7

．
综上可知a的取值范围是(−1，

18

7

]．

设f（x）=x²-2ax+a+2，它的图象是一条开口向上的抛物线，B⊆A可知集合B为空集或解决是[1，4]的子区间，结合图象建立不等关系，解之即可．

本题考点：二次函数的图象；集合的包含关系判断及应用．

考点点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及二次函数的图象，属于基础题．