题目

一个边数为2n的多边形一个边数位2n的多边形内所有对角线的条数是边数为n的多边形内所有对角线条数的6倍,求

提问时间：2020-10-16

答案

如图1,在任意五边形ABCDE中,从A出发可引出5-3=2条线,而五边形有5个点,所以5个点可以引出5×（5-3）条线,但是每条线都会重复一次,如从A连到E和从E连到A是一样的.所以算出来的总数必须÷2,所以5边形对角线的数量应是【5×(5-3）】÷2,同理：因为边数为2n的多边形有2n个点,而从每个点出发可引出2n-3条线,所以2n边形应有【2n×（2n-3）】÷2条对角线,同理：因为边数为n的多边形有n个点,而从每个点出发可引出n-3条线,所以n边形应有【n×（n-3）】÷2条对角线,而2n边形对角线的数量是n边形对角线的六倍,依题意,得
【2n×（2n-3）】÷2=｛【n×（n-3）】÷2｝×6
     (4n²-6n)÷2=[(n²-3n)÷2]×6
         2n²-3n=3n²-9n
              6n=n²
    两边同时除以n,得
         n=6