题目
1到n的平方和是多少如何证明
提问时间:2020-10-16
答案
证明1+4+9+……+N2=N(N+1)(2N+1)/6
1,N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2,N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3,设N=x时,公式成立,即1+4+9+……+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+……+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4,综上所述,平方和公式1+4+9+……+N2=N(N+1)(2N+1)/6成立,得证.
1,N=1时,1=1(1+1)(2×1+1)/6=1
2,N=2时,1+4=2(2+1)(2×2+1)/6=5
3,设N=x时,公式成立,即1+4+9+……+x2=x(x+1)(2x+1)/6
则当N=x+1时,
1+4+9+……+x2+(x+1)2=x(x+1)(2x+1)/6+(x+1)2
=(x+1)[2(x2)+x+6(x+1)]/6
=(x+1)[2(x2)+7x+6]/6
=(x+1)(2x+3)(x+2)/6
=(x+1)[(x+1)+1][2(x+1)+1]/6
也满足公式
4,综上所述,平方和公式1+4+9+……+N2=N(N+1)(2N+1)/6成立,得证.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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