题目

设实数X,Y满足3≤XY^2≤8,4≤X^2/Y≤9,求X^3/Y^4的最大值 关于这题有一个逻辑问题 还望指教
解法一：x^3/y^4 分拆 成 ( x^2/y )乘( x/y^3 )
x/y^3=( X^2/Y )除( XY^2 )
所以MAX( x/y^3 )=3
所以X^3/Y^4的最大值为27
现在看解法二：这就出问题了 但是没搞明白 哪里错了
由题意知 x>0 y>0
对于3≤XY^2≤8 开平方 则为9≤x^2Y^4≤64
==》9/x^2 ≤ Y^4≤ 64/x^2.①
( XY^2 )乘( X^2/Y )=x^3 y
12/y≤x^3 ≤72/y.②
欲使X^3/Y^4最大 取①9/x^2 ②72/y
X^3/Y^4=②/①= 8*X^2/Y
X^2/Y取最大值 9
所以X^3/Y^4的最大值为72 与解法一答案不一致
写的佷混乱重新更正：
解法一：x^3/y^4 分拆成 ( x^2/y )*( x/y^3 )
（x/y^3）max=( X^2/Y )max / ( XY^2 )min=9/3=3
所以X^3/Y^4的最大值为( x^2/y )max*( x/y^3 )max=27
现在看解法二：
由题意知 x>0 y>0
对于3≤XY^2≤8 两边平方 则为9≤x^2Y^4≤64
==》9/x^2 ≤ Y^4≤ 64/x^2..........................①
( XY^2 )*( X^2/Y )=x^3 y
12/y≤x^3 ≤72/y [3≤XY^2≤8与4≤X^2/Y≤9相乘][这一步好像有问题 但没理清思路 ].............................②
欲使X^3/Y^4最大 取①9/x^2 ②72/y
X^3/Y^4=②/①= 8*X^2/Y
X^2/Y取最大值 9
所以X^3/Y^4的最大值为72

提问时间：2020-10-16

答案

【【注】】
换元,这样看的更清楚.
【【解】】
可设a=xy²,b=x²/y.
由此可知：
(x³)/(y^4)=b²/a
【1】
由题设可得：
①3≦a≦8.
∴1/8≦1/a≦1/3.
②4≦b≦9.
∴16≦b²≦81.
两式相乘,可得：
2≦b²/a≦27.
即：2≦x³/(y^4) ≦27.
∴[x³/(y^4)]max=27.
【【附】】
【1】易知,当x=3,y=1时,
此时满足题设条件,
∴x³/(y^4)=27是可以的.
【2】
在设a=xy²,b=x²/y后,
可以解得：
x^5=ab².y^5=a²/b.
其中,3≤a≤8 且4≤b≤9.
你的第二种解法,核心是：
x³/(y^4)=8x²/y
整理就是,x=8y³.
两边乘5次方后,x^5=[(2y)^5] ³
再把x^5=ab²,y^5=a²/b代入,整理得：
b=8a.
由3≤a≤8,4≤b≤9可得：
4≤b≤9≤24≤8a≤64.
∴不可能有b=8a.
即你的变形是错了.