题目

已知函数f(x)=e^x(x^2+ax-a)其中a是常数,若存在实数k,使得关于X的方程f(x)=k在[0,+∞）上有两个不相等的

提问时间：2020-10-16

答案

f'(x)=e^x(x²+ax-a)+e^x(2x+a)=e^x[x²+(a+2)x]=e^x[x(x+a+2)]
若a+2=0,f'(x)≥0,所以f(x)在[0,+∞）上单调递增,不可能使f(x)=k有两个不相等的实根；
若a+2>0,则-a-2<0,所以f(x)在[0,+∞）上单调递增,也不可能使f(x)=k有两个不相等的实根；
若a+2<0,则-a-2>0,所以f(x)在[0,-a-2）上单调递减,[-a-2,+∞）上单调递增,若使f(x)=k有两个不相等的实根,必须极小值f(-a-2)<0,即(-a-2)²+a(-a-2)-a<0,解得a<-4
综上所述,a<-4