题目

求x趋于0时lim(ax^3-sinx^3)/（1/2）ln（1+x^b）=1中的参数a和b

提问时间：2020-10-16

答案

ln(1+x^b) x^b
所以原式等价于
lim(x→0) （ax³ - sinx³）/ x^b = 1/2
令 t=x³
lim(t→0) (at - sint) / t^(b/3) = 1/2
由洛必达法则
lim(t→0) (a - cost) / [ b/3 * t^(b/3 - 1) ] = 1/2
情况① b/3 - 1 = 0 即 b=3
原式 = lim(t→0) (a - cost) = a-1 = 1/2
∴ a = 3/2
情况② b/3 - 1 > 0
分母趋于0,极限存在,所以分子必然趋于0,故 a=1
分子= 1-cost t² / 2
分子分母 t的次数相等
∴ b/3 - 1 = 2 即 b=9
原式 = (t²/2) / (3t²) = 1/6 ≠ 1/2
不满足
综上,a=3/2 ,b=3