题目

Hessian矩阵的形式是怎样的?它的数学含义、物理含义是什么呢?它的主要应用有哪些呢?

提问时间：2020-10-16

答案

就是海赛（海色）矩阵,在网上搜就有.
在数学中,海色矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵,
Hessian矩阵是多维变量函数的二阶偏导数矩阵,H（i,j)=d^2(f)/(d(xi)d(xj))
它是对称的.如果是正定的的可用导数=0的变量组确定它的极小值,负定的确定它的极大值,否则无法确定极值.
1.极值（极大值或极小值）的定义
设有定义在区域D Rn上的函数 y=f(x)=f(x1,...,xn) .对于区域D的一内点x0=(x10,...,xn0),若存在x0的一个邻域UD,使得
f(x)≤f(x0) x∈U
则称x0是f(x)的极大点,f(x0)称为f(x)的极大值.
相反,如
f(x)≥f(x0) x∈U
则称x0是f(x)的极小点,f(x0)称为f(x)的极小值.
2.海赛（Hessian）矩阵
设函数y=f(x)=f(x1,...,xn)在点x0=(x10,...,xn0)的一个邻域内所有二阶偏导数连续,则称下列矩阵H为f(x)在x0点的海赛矩阵.
显然海赛矩阵是对称的,从而它的所有特征根均为实数.
3.极值存在的必要条件
若x0是f(x)的极值点,如果存在,则
进一步设在一个邻域内所有二阶导数连续,H为在点x0的海赛矩阵.则
（1）x0是f(x)的极小点 H≥0,即H 的特征根均为非负.
（2）x0是f(x)的极大点H≤0,即H的特征根为非正.
若在x0点有,则称x0是f(x)的临界点,f(x0)为临界值.
4.极值存在的充分条件
设f(x)在x0的一个邻域内所有二阶偏导数连续,且x0是f(x)的临界点（即）,H为f(x)在x0点的海赛矩阵,则
（1）H>0,即H为正定矩阵x0是f(x)的极小点.
（2）H0,detH=AC-B2>0,则H正定,从而(x0,y0)是f(x,y)的极小点.
（2）若A0,则H负定,从而(x0,y0)是f(x,y)的极大点.
（3）若detH=AC-B2