题目

求极限 lim|x->0 [(sinx-xcosx)/(sinx)^3]
书上的标准解答是利用迈克劳林公式
sinx-xcosx=x-x^3/3!+o(x^3)-x+x^3/2!-o(x^3)=x^3/3
然后x^3与（sinx）^3为等价无穷小
故极限为1/3
我想问一下,如果直接分离常数,
原式=lim(1/(sinx)^2)-lim[(x/sinx)*(cosx/(sinx)^2))]
=lim[(1-cosx)/(1-cos^2 x)] {重要极限x/sinx=1}
=lim(1/(1+cosx))
=1/2
错在哪里?请各位达人指教!

提问时间：2020-10-16

答案

你错在“原式=lim(1/(sinx)^2)-lim[(x/sinx)*(cosx/(sinx)^2)]”!∵当x->0时,lim(1/(sinx)^2)=不存在 lim[(x/sinx)*(cosx/(sinx)^2)]=不存在 这是极限运算不允许的! 即：极限存在的算式不能分解成两个...