题目
已知二次函数fx=ax2+bx+c.对任意实数x都有fx≥x.且当x∈(1,3)时,有f×≤1/8(x+2)^2成立
提问时间:2020-10-16
答案
1.对任意x,满足f(x)≥x,于是有f(2)≥2;
而2在区间(1,3)内,所以有f(2)≤(2+2)^/8=2
所以有f(2)=2
2.f(-2)=4a-2b+c=0,f(2)=4a+2b+c=2,两式相减,可得4b=2,b=1/2
f(5/2)=(25/4)a+(5/2)b+c=(25/4)a+c+5/4
而根据f(x)≤(x+2)^/8,可得f(5/2)≤(5/2 +2)^/8=81/32这样就有(25/4)a+c+(5/4)≤81/32
(25/4)a+c≤41/32
而通过f(-2)=4a-2b+c=0,可以得到4a+c=2b=1,c=1-4a
带入上式:
(25/4)a+c=(9/4)a+(4a+c)+5a=1+(9/4)a≤41/32
a≤1/8
又在f(3/2)处取f(3/2)≤(3/2 +2)^/8=49/32
而f(3/2)=(9/4)a+(3/2)b+c=(9/4)a+c+3/4=(-7/4a)+4a+c+3/4=(-7/4)a+1+3/4=(-7a/4)+7/4
所以有(-7a/4)+7/4≤49/32
a≥1/8
于是a=1/8,可得出c=1/2
所以f(x)=x^/8 +x/2+1/2
3.原题目的条件等价于:存在x∈[-2,2]时,方程f(x)-g(x)=0总是存在实根
而f(x)-g(x)=x^/8-x/2+(1/2 -m)
化简方程可得:x^-4x+(4-8m)=0
而设抛物线h(x)=x^-4x+(4-8m)
则问题转化为:h(x)在x∈[-2,2]的区间上必然与x轴相交
h(x)的对称轴很容易得到是x=2,顶点为(2,-8m)恰好落在区间[-2,2]的右端点,而h(x)的开口还是向上的,于是可以判定,h(x)在[-2,2]上时单调递减的,且其顶点(2,-8m)恰好落在区间的右端点上
要使此抛物线在[-2,2]上与x轴一定存在交点,那么只需顶点的函数值小于等于0,并使得f(-2)≥0即可:
顶点函数值-8m≤0,m≥0;f(-2)=16-8m≥0,m≤2
故m的取值范围是[0,2]
而2在区间(1,3)内,所以有f(2)≤(2+2)^/8=2
所以有f(2)=2
2.f(-2)=4a-2b+c=0,f(2)=4a+2b+c=2,两式相减,可得4b=2,b=1/2
f(5/2)=(25/4)a+(5/2)b+c=(25/4)a+c+5/4
而根据f(x)≤(x+2)^/8,可得f(5/2)≤(5/2 +2)^/8=81/32这样就有(25/4)a+c+(5/4)≤81/32
(25/4)a+c≤41/32
而通过f(-2)=4a-2b+c=0,可以得到4a+c=2b=1,c=1-4a
带入上式:
(25/4)a+c=(9/4)a+(4a+c)+5a=1+(9/4)a≤41/32
a≤1/8
又在f(3/2)处取f(3/2)≤(3/2 +2)^/8=49/32
而f(3/2)=(9/4)a+(3/2)b+c=(9/4)a+c+3/4=(-7/4a)+4a+c+3/4=(-7/4)a+1+3/4=(-7a/4)+7/4
所以有(-7a/4)+7/4≤49/32
a≥1/8
于是a=1/8,可得出c=1/2
所以f(x)=x^/8 +x/2+1/2
3.原题目的条件等价于:存在x∈[-2,2]时,方程f(x)-g(x)=0总是存在实根
而f(x)-g(x)=x^/8-x/2+(1/2 -m)
化简方程可得:x^-4x+(4-8m)=0
而设抛物线h(x)=x^-4x+(4-8m)
则问题转化为:h(x)在x∈[-2,2]的区间上必然与x轴相交
h(x)的对称轴很容易得到是x=2,顶点为(2,-8m)恰好落在区间[-2,2]的右端点,而h(x)的开口还是向上的,于是可以判定,h(x)在[-2,2]上时单调递减的,且其顶点(2,-8m)恰好落在区间的右端点上
要使此抛物线在[-2,2]上与x轴一定存在交点,那么只需顶点的函数值小于等于0,并使得f(-2)≥0即可:
顶点函数值-8m≤0,m≥0;f(-2)=16-8m≥0,m≤2
故m的取值范围是[0,2]
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
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英语翻译
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