题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OEFG的顶点E坐标为（4，0），顶点G坐标为（0，2）．将矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，OM与GF交于点．

（1）判断△OGA和△NPO是否相似，并说明理由；
（2）求过点A的反比例函数解析式；
（3）若（2）中求出的反比例函数的图象与EF交于B点，请探索：直线AB与OM是否垂直，并说明理由．

提问时间：2020-10-16

答案

（1）△OGA和△NPO相似．理由如下：
∵矩形OEFG绕点O逆时针旋转，使点F落在y轴的点N处，得到矩形OMNP，
∴∠P=∠POM=∠OGF=90°，
∴∠PON+∠PNO=90°，∠GOA+∠PON=90°，
∴∠PNO=∠GOA，
∴△OGA∽△NPO；
（2）∵E点坐标为（4，0），G点坐标为（0，2），
∴OE=4，OG=2，
∴OP=OG=2，PN=GF=OE=4，
∵△OGA∽△NPO，
∴OG：NP=GA：OP，即2：4=GA：2，
∴GA=1，
∴A点坐标为（1，2），
设过点A的反比例函数解析式为y=

k

x

，
把A（1，2）代入y=

k

x

得k=1×2=2，
∴过点A的反比例函数解析式为y=

2

x

；
（3）直线AB与OM垂直．理由如下：
把x=4代入y=

2

x

中得y=

1

2

，
∴B点坐标为（4，

1

2

），
∴BF=2-

1

2

=

3

2

，
而A点坐标为（1，2），
∴AG=1，AF=4-1=3，
∴OG：AF=2：3，GA：FB=1：

3

2

=2：3，
∴OG：AF=GA：FB，
而∠OGA=∠F，
∴△OGA∽△AFB，
∴∠GAO=∠ABF，
∵∠ABF+∠BAF=90°，
∴∠GAO+∠BAF=90°，
∴∠OAB=90°，
∴直线AB与OM垂直．