题目

已知函数f（x）=sin²x+√3sinxcosx+2cos²x,x∈R,求函数f（x）的最小正周期,求函数f(x）的最大
值和取最大值时相应x的集合

提问时间：2020-10-15

答案

f(x)＝sin²x＋√3sinxcosx＋2cos²x
＝sin²x＋√3sinxcosx＋cos²x＋cos²x
＝1＋√3sinxcosx＋cos²x
＝1＋√3／2 sin2x＋(2cos²x－1＋1)／2
＝1＋√3／2 sin2x＋cos2x／2 ＋1／2
＝3／2＋sin(2x＋ π／6)
∴函数f(x)最小正周期为 T＝2π／2＝π
当2x＋ π／6＝π／2 ＋2kπ 时,函数取最大值 5／2,此时x＝π／6 ＋kπ
综上,函数f(x)最小正周期为 π；
最大值 5／2；
函数取最大值时,x＝π／6 ＋kπ （k∈Z）