题目

设函数f（x），g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有二阶导数且存在相等的最大值，f（a）=g（a），f（b）=g（b），证明：存在ξ∈（a，b），使得f″（ξ）=g″（ξ）．

提问时间：2020-10-15

答案

令F（x）=f（x）-g（x），则F（x）在上连续，在（a，b）内具有二阶导数且F（a）=F（b）=0．
（1）若f（x），g（x）在（a，b）内同一点c取得最大值，
则f（c）=g（c）⇒F（c）=0，
于是由罗尔定理可得，
存在ξ₁∈（a，c），ξ₂∈（c，b），
使得F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．
再利用罗尔定理，可得，
存在ξ∈（ξ₁，ξ₂），
使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．
（2）若f（x），g（x）在（a，b）内不同点c₁，c₂取得最大值，
则f（c₁）=g（c₂）=M，
于是F（c₁）=f（c₁）-g（c₁）＞0，F（c₂）=f（c₂）-g（c₂）＜0，
于是由零值定理可得，存在c₃∈（c₁，c₂），使得F（c₃）=0
于是由罗尔定理可得，存在ξ₁∈（a，c₃），ξ₂∈（c₃，b），使得F′（ξ₁）=F′（ξ₂）=0．
再利用罗尔定理，可得，存在ξ∈（ξ₁，ξ₂），使得F″（ξ）=0，即f″（ξ）=g″（ξ）．