题目

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，直线l过点A（4，0）且与抛物线交于P，Q两点．并设以弦PQ为直径的圆恒过原点．
（Ⅰ）求焦点坐标；
（Ⅱ）若

FP

+

FQ

=

FR

，试求动点R的轨迹方程．

提问时间：2020-10-15

答案

（Ⅰ）设直线l方程为x=ky+4，代入y2=2px得y2-2kpy-8p=0设P（x1，y1），Q（x2，y2），则有y1+y2=2kp，y1y2=-8p而OP•OQ＝0，故0=x1x2+y1y2=（ky1+4）（ky2+4）-8p=k2y1y2+4k（y1+y2）+16-8p即0=-8k2 p+8k2p+16-8p，得...

（Ⅰ）设出直线l的方程代入抛物线的方程消去x，设出P，Q的坐标，利用韦达定理表示出y₁+y₂和y₁y₂，利用

OP

•

OQ

＝0，求得0=x₁x₂+y₁y₂，求得p，则焦点坐标可得．
（Ⅱ）设出R，利用

FP

+

FQ

＝

FR

求得x₁+x₂=x+1，y₁+y₂=y，进而根据y₁²=4x₁，y₂²=4x₂和FR中点坐标，利用k_PQ=k_MA求得x和y的关系式，当x₁=x₂时，R的坐标为（7，0），也满足y²=4x-28，进而推断出y²=4x-28即为动点R的轨迹方程．

本题考点：直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生综合运用基础知识解决问题的能力．