题目

设A,B均为正定矩阵,则AB正定当且仅当AB=BA

提问时间：2020-10-15

答案

用 A* 表示矩阵 A 的共轭转置,其余同.
必要性：设 AB 是正定矩阵,则
AB = (AB)* = B*A* = BA.
充分性：设 AB = BA,则我们已看到
AB = BA = B*A* = (AB)*
即 AB 是 Hermite 矩阵,下面只需证它的特征值都是正的.实际上,存在可逆矩阵 Q 使得
A = QQ*
因此
(Q逆) AB Q = Q* BQ = S
即 AB 相似于 S = Q*BQ,因此AB的特征值就是 S的特征值,而显然 S 是正定的,它的特征值都是正数.