题目
求使关于x的二次方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0有整数根的所有整数a.
提问时间:2020-10-15
答案
当a=-1时,原方程化为-2x-2-6=0,此时x=-4;
当a≠-1时,判别式△=(a2+1)2-4(a+1)(2a3-6)=-7a4-8a3+2a2+24a+25,
若a≤-2,则△=-a2(7a2+8a-2)+24(a+1)+1<24(a+1)+1<0,方程无根;
若a≥2,则△=-8a(a2-3)-a2(7a2-2)+25<-a2(7a2-2)+25<0,方程亦无根;
故-2<a<2,
又因为a为整数,则a只能取-1,0,1,而a≠-1,则a在0,1中取值:
当a=0时,方程可化为x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2;
当a=1时,方程可化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1.
综上所述,关于x的二次方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0,当a=0,1时,方程有整数根.
当a≠-1时,判别式△=(a2+1)2-4(a+1)(2a3-6)=-7a4-8a3+2a2+24a+25,
若a≤-2,则△=-a2(7a2+8a-2)+24(a+1)+1<24(a+1)+1<0,方程无根;
若a≥2,则△=-8a(a2-3)-a2(7a2-2)+25<-a2(7a2-2)+25<0,方程亦无根;
故-2<a<2,
又因为a为整数,则a只能取-1,0,1,而a≠-1,则a在0,1中取值:
当a=0时,方程可化为x2-x-6=0,解得x1=3,x2=-2;
当a=1时,方程可化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-1.
综上所述,关于x的二次方程(a+1)x2-(a2+1)x+2a3-6=0,当a=0,1时,方程有整数根.
举一反三
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想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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