题目

已知，△ABC是等边三角形，D、E分别是BC、AC边上的点，AE=CD，连接AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于Q
（1）求∠BPD的度数；
（2）若PQ=3，PE=1，求AD的长．

提问时间：2020-10-15

答案

（1）∵AB=AC，AE=CD，∠BAE=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中

AE＝DC ∠BAE＝∠C AB＝AC

∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴∠ABE=∠CAD，
∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．
（2）由（1）得△ABE≌△CAD，
在Rt△BPQ中，∠BPQ=60°，
∴∠PBQ=30°，
∵PQ=3，
∴BP=2PQ=6，
又∵PE=1，
∴BE=BP+PE=7，
∴AD=BE=7．

（1）由SAS可得△ABE≌△CAD，进而得出对应角相等，再通过角之间的转化即可求解∠BPD的度数；
（2）由（1）中∠BPD=60°，可得∠PBQ=30°，在Rt△BPQ中，由PQ的长可得BP的长，再由线段的转化，即可求解．

本题考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评：本题主要考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定及性质问题，应熟练掌握并能进行一些简单的计算问题．