题目

设函数f（x）是周期为2012的连续函数．证明：存在ξ∈[0，2011]使得f（ξ）=f（ξ+1）．

提问时间：2020-10-15

答案

记F（x）=f（x）-f（x+1），
由f（x）的性质知，F（x）是周期为2012的连续函数．
因为
F（0）+F（1）+…+F（2011）
=f（0）-f（1）+f（1）-f（2）+…+f（2011）-f（2012）
=f（0）-f（2012）=0，
∃i∈{0，1，…，2011}使得F（i）=0，则取ξ=i即可； 
否则，必然存在i，j∈{0，1，…，2011}，使得F（i）•F（j）＜0，
从而根据连续函数的零点存在定理可得，
存在ξ∈[0，2011]，使得F（ξ）=0，
即：f（ξ）=f（ξ+1）．