题目

已知函数y=f(x)的定义域为R,且对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b),且当x＞0时,f(x)＜0恒成立,f(3)=-3.
(1)证明：函数y=f(x)是R上的减函数；
（2）试求函数y=f(x)在［m,n］（m,n∈Z）上的值域.
上面第一题我用特殊值带入行吗 就是设 f(3)=f(3)+f(0) 得f(0)=0 f（3）-f（0）＜0所以是减函数
还有就是第二题我看答案没看懂 答案变形f(n)=2f(1)+f(n-2)=n*f(1) 我不懂他这为什么2f(1)+f(n-2)=n*f(1)

提问时间：2020-10-15

答案

相当于是n个f(1)相加 f(n-2)=f(1)+f(n-3) ∴f(n)=2f(1)+f(n-2)=3f(1)+f(n-3)=……=nf(1) （1）证明 设x1,x2∈R,且x1＜x2,f(x2)=f［x1+(x2-x1)］=f(x1)+f(x2-x1).∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)＜f(x1).故f(x)是R上的减函数.（2）证 ∵f（a+b）=f（a）+f（b）恒成立,∴可令a=-b=x,则有f（x）+f（-x）=f（0）,又令a=b=0,可得y=f(x)是奇函数.由于y=f(x)是R上的单调递减函数,∴y=f（x）在［m,n］上也是减函数,故f(x)在［m,n］上的最大值f(x)max=f(m),最小值f(x)min=f(n).由于f(n)=f(1+(n-1)) =f(1)+f(n-1)=… =nf(1),同理f(m)=mf(1).又f(3)=3f(1)=-3,∴f(1)=-1,∴f(m)=-m,f(n)=-n.∴函数y=f(x)在［m,n］上的值域为［-n,-m］.