题目

已知与圆C:x^2+y^2-2x-2y+1=0相切的直线l交于x,y轴于A B两点,O为坐标原点,且|OA|=a,|OB|=b
(1)求证(a-2)(b-2)=2
(2)求线段AB中点的轨迹方程

提问时间：2020-10-15

答案

（1）证明：园方程可化为 （x-1)^2+(y-1)^2=1. 圆心（1,1）,半径=1.
设园与x、y轴分别切于E、F.则OE=OF=1.
设AB切圆于P点.则AP=AE=(a-1)的绝对值, BP=BF=(b-1)的绝对值
所以 AB=(a+b-2)的绝对值.因OA^2+OB^2=AB^2,则有
a^2+b^2=(a+b-2)^2, 即有 (a-2)(b-2)=2.
(2)设AB的中点为M(x,y).则x=a/2, y=b/2. 即a=2x,b=2y.
把a、b代入（a-2)(b-2)=2, 即可得M的轨迹方程为
2（x-1)(y-1)=1. 即y=(2x-1)/(2x-2).