题目

已知动点m到点f(-根号2,0）的距离与到直线x=-根号2/2的距离之比为根号2求若过点E（0,1）的直线与曲线C在
已知动点m到点f(-根号2,0）的距离与到直线x=-根号2/2的距离之比为根号2,求若过点E（0,1）的直线与曲线C在y轴左侧交与不同的两点A,B,点P（-2,0）满足PN（矢量）=0.5（PA（矢量）+PB（矢量））,求直线PN在y轴上的截距d的取值范围.

提问时间：2020-10-15

答案

e=根号2>1,曲线C为双曲线,e=c/a=根号2,c-(a^2)/c=根号2/2,解得a=1,c=根号2,b^2=c^2-a^2=1,
曲线C方程为x^2-y^2=1
由PN(矢量）=0.5（PA（矢量）+PB（矢量））知,N 是弦AB中点
设A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0)
将A,B坐标代入双曲线方程x^2-y^2=1,并把所得两式两边相减,得,(x1)^2-(x2)^2=(y1)^2-(y2)^2即,
[(y1)-(y2)]/[(x1)-(x2)]=(x0)/(y0)即,kAB=(x0)/(y0),又kAB=kEN=[(y0)-1/](x0),所以
[(y0)-1/](x0)=(x0)/(y0),即(x0)^2-(y0)*[(y0)-1/]=0,即[(y0)-1/2]^-(x0)^2=1/4,即N的轨迹为双曲线[(y0)-1/2]^-(x0)^2=1/4（中心为（0,1/2)）的一部分
由x^2-y^2=1和(y-1/2)^-x^2=1/4解得其左支与下支交点M(-根号2,-1）(M也是过E点向双曲线C左支引切线的切点）,结合图像知N点轨迹为
双曲线(y-1/2)^-x^2=1/4在双曲线x^2-y^2=1的左支的左侧部分,即y-1/2)^-x^2=1/4(x<-根号2,y<-1)
由点斜式得直线PN的方程为y=kPN*(x+2) (其中kPN=(y0)/[(x0)+2]),即y=kPN*x+2kPN ,线PN在y轴上的截距d=2kPN,设过P点且平行于双曲线(y-1/2)^-x^2=1/4的渐进线y=x+1/2的直线交y轴于点G,观察图像知
kPN<kPM或kPN>kPG,kPM=-1/(2-根号2)=-(2+根号2)/2,kPG=1
所以kPN<-(2+根号2)/2或kPN>1,直线PN在y轴上的截距d的取值范围为d<-(2+根号2)或d>2