题目

椭圆x^2/16+y^2/4=1的左右焦点分别为F1F2点P在直线:x-根号3y+8+2根号3=0上.当角F1PF2取最大值时求PF1/PF2
答案好像是根号3-1

提问时间：2020-10-13

答案

由已知：a²=16 ,b²=4 ,∴c²=12 ,即c=2√3
∴ F1(－2√3 ,0) ,F2(2√3 ,0)
点P（√3·y－8－2√3 ,y) ,|F1F2|=2c=4√3
设∠F1PF2=α ,不妨设y>0
∴|PF1|²=(x+2√3)²+y²=(√3·y－8)²+y²
|PF2|²=(x－2√3)²+y²=(√3y－8－4√3)²+y²
∴|PF1|²+|PF2|²=8y²－(32√3+24)y+176+64√3
∴PF1|²+|PF2|²－(2c)²=8y²－(32√3+24)y+128+64√3
又由△F1PF2的面积可得：|PF1|·|PF2|·sinα=2c·y ,即：|PF1|·|PF2|=(4√3y)/sinα
∴cosα=(PF1|²+|PF2|²－(2c)²)/(2PF1|·|PF2|)
=[8y²－(32√3+24)y+128+64√3]/[(8√3y)/sinα]
∴(cosα)/(sinα)==[8y²－(32√3+24)y+128+64√3]/(8√3y)
即cotα=(1/√3)· [y－(4√3+3)+(16+8√3)/y]
≥ (1/√3)·{2√[y·(16+8√3)/y] －(4√3+3)}
= (1/√3)·{4√(4+2√3)－(4√3+3)}
=(1/√3)·{4(1+√3)－(4√3+3)}=1/√3
当且仅当y=16+8√3)/y时取等号
这时,y²=16+8√3
即y²=4(4+2√3) ,即y=2(1+√3)
这时,cotα最小,即角α最大
|PF1|²/|PF2|²=[(√3·y－8)²+y²]/(√3y－8－4√3)²+y²
=（y²－4√3y+16)/[y²－(4√3+6)y+28+164√3]
=4－2√3
∴|PF1|/|PF2|=√3－1