题目

如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，求线段DF的长．

提问时间：2020-10-13

答案

∵AD是△ABC的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠BAD=45°=∠ABD，
∴AD=BD，
∵BE⊥AC，
∴∠BEC=90°，
∴∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，
∴∠FBD=∠CAD，
在△FBD和△CAD中

∠ADB＝∠ADC BD＝AD ∠FBD＝∠CAD

，
∴△FBD≌△CAD（ASA），
∴CD=DF=4，
答：DF的长是4．

求出AD=BD，根据∠FBD+∠C=90°，∠CAD+∠C=90°，推出∠FBD=∠CAD，根据ASA证△FBD≌△CAD，推出CD=DF即可．

本题考点：全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，能推出△FBD≌△CAD是解此题的关键．