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题目
已知P点在圆(x+1)平方+y平方=1上移动,Q点在椭圆x平方/9+y平方/4=1上移动,求绝对值PQ的最小值

提问时间:2020-10-13

答案
令圆(x+1)^2+y^2=1的圆心为A,则点A的坐标为(-1,0).
连结AQ交⊙A于B,在⊙A上取点B外的任意一点为C,则A、C、Q构成了一个三角形.
显然有:|CQ|+|AC|>|AQ|=|BQ|+|AB|,而|AC|=|AB|,
∴|CQ|>|BQ|.
∴点P与点B重合,否则|PQ|就不是最小的.
∵|AP|是⊙A的半径,为定值,∴要使|PQ|取得最小值,就需要|AQ|取得最小值.
∵点Q在椭圆x^2/9+y^2/4=1上,∴可令点Q的坐标为(3cosθ,2sinθ).
∴|AQ|=√[(3cosθ+1)^2+(2sinθ-0)^2],
∴|AQ|^2=(3cosθ+1)^2+4(sinθ)^2=9(cosθ)^2+6cosθ+1+4(sinθ)^2,
∴|AQ|^2=5(cosθ)^2+6cosθ+5=5(cosθ+3/5)^2+16/5.
显然,当cosθ+3/5=0时,|AQ|^2有最小值=16/5,∴|AQ|的最小值=4/√5=4√5/5.
∴|PQ|的最小值=|AQ|的最小值-|AP|=4√5/5-1.
即:|PQ|的最小值是 4√5/5-1.
举一反三
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
1,人们染上烟瘾,最终因吸烟使自己丧命.
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