题目

（选做题）
设a，b是非负实数，求证：a²+b²≥

ab

（a+b）．

提问时间：2020-10-13

答案

∵a²+b²≥

1

2

(a+b) 2
∴a²+b²-

ab

（a+b）≥
而

1

2

(a+b) 2-

ab

（a+b）=

1

2

（a+b）（a+b-2

ab

）
=

1

2

（a+b）（

a

−

b

）²≥0
∴a²+b²-

ab

（a+b）≥0
当且且当a=b时等号成立
∴a²+b²≥

ab

（a+b）．

作差：不等式的左边减去右边，得a²+b²-

ab

（a+b），利用基本不等式a²+b²）≥

1

2

(a+b) 2可得这个差大于或等于

1

2

(a+b) 2-

ab

（a+b），再将此式因式分解，得到它是一个非负数，从而证得原不等式成立

本题考点：不等式的证明．

考点点评：本题考查了不等式的证明，属于难题．利用基本不等式进行构造，证明左右两边的差大于或等于一个非负数，是解决本题的关键．