题目

若复数z1,z2,z3的模相等且z1+z2+z3=0.证明:z1,z2,z3构成等边三角形的三个顶点.网上的看到的是乱码

提问时间：2020-10-13

答案

z1(x1,y1),z2(x2,y2),z3(x3,y3)
若模相等,则有
x1^2+y1^2=r^2 (1)
x2^2+y2^2=r^2 (2)
x3^2+y3^2=r^2 (3)
将（1）（2）与（3）式分别相加可以得到：
x1^2+x3^2+y1^2+y3^2=x2^2+x3^2+y2^2+y3^2 （4）
将（1）与（2）式相减可以得到：
x1^2-x2^2=y2^2-y1^2
即(x1+x2)*(x1-x2)=(y2+y1)*(y2-y1) (5)
由于z1+z2+z3=0
所以x1+x2+x3=y1+y2+y3=0
所以x1+x2=-x3 y1+y2=-y3 (6)
将(6)代入(5)得：
-x3x1-y3y1=-y3y2-x3x2
式两边同时乘以2得
-2x3x1-2y3y1=-2y3y2-2x3x2 （7）
将式（4）与（6）相加得：
(x1-x3)^2+(y1-y3)^2=(x2-x3)^2+(y2-y3)^2
即z1-z3的模=z2-z3的模
同理可得到z1-z3的模=z1-z2的模,
所以三边边长相等,结论成立.