题目
计算三重积分(x^2+ay^2+bz^2)dxdydz,其中Ω是球体x^2+y^2+z^2<=R^2,且a,b为常数
提问时间:2020-10-13
答案
原式=∫dθ∫sinφdφ∫[(r*sinφcosθ)²+a(r*sinφsinθ)²+b(r*cosφ)²]r²dr
(作球面坐标变换)
=∫dθ∫sinφdφ∫[(sinφcosθ)²+a(sinφsinθ)²+b(cosφ)²]r^4dr
=(R^5/5)∫dθ∫[(sinφcosθ)²+a(sinφsinθ)²+b(cosφ)²]sinφdφ
=(-R^5/5)∫dθ∫[(cos²θ+asin²θ)(1-cos²φ)+bcos²φ]d(cosφ)
=(2R^5/15)∫(2cos²θ+2asin²θ+b)dθ
=(2R^5/15)∫[1+a+b+(1-a)cos(2θ)]dθ (应用倍角公式)
=(2R^5/15)[2π(1+a+b)]
=4π(1+a+b)R^5/15.
(作球面坐标变换)
=∫dθ∫sinφdφ∫[(sinφcosθ)²+a(sinφsinθ)²+b(cosφ)²]r^4dr
=(R^5/5)∫dθ∫[(sinφcosθ)²+a(sinφsinθ)²+b(cosφ)²]sinφdφ
=(-R^5/5)∫dθ∫[(cos²θ+asin²θ)(1-cos²φ)+bcos²φ]d(cosφ)
=(2R^5/15)∫(2cos²θ+2asin²θ+b)dθ
=(2R^5/15)∫[1+a+b+(1-a)cos(2θ)]dθ (应用倍角公式)
=(2R^5/15)[2π(1+a+b)]
=4π(1+a+b)R^5/15.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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