题目

用1分,2分和5分的硬币凑成一角,共有几种不同的凑法?(硬币可以重复使用

提问时间：2020-10-13

答案

　　这是一种直接的解法.基本想法是按1五分硬币的个救将所有凑法分类.
　　假定五分硬币有20个,则没有二分硬币,因此只有一种凑法.假定五分硬币有19个,币值为5×19=95分,因此要使总币值不超过1元=100分,所取二分硬币的币值不能超过5分.很明显,二分硬币的个数可以为0个,1个,或2个,这样就有三种不同的凑法.如此继续下去,可以看出不同的凑法共有
　　1＋3＋6＋8＋11＋13＋……＋48+51
　　=（1＋48）＋（3＋46）＋（6＋43）＋……＋（23+26）+51
　　=49×10+51
　　=541（种）
　　答：共有541种凑法.
　　【解法2】这是一种比较巧妙的简便算法.
　　将 50个二分硬币和20个五分硬币分成甲、乙二组.因为这些硬币的总币值为 50×2+20×5=200（分）.所以甲、乙二组的币值无非是下面三种情形；
　　（1）甲组的钱比一元少,乙组的钱比1元多.
　　（2）甲组的钱比一元多,乙组的钱比1元少.
　　（3）甲、乙两组的钱相等,都是一元钱.
　　这里有两点要特别注意：第一,情形（1）与情形（2）是对称的,只不过甲和乙交换了位置.第二,（1）的所有可能性加上（3）的所有可能性就是我们的问题的答案.
　　那么（1）,（3）的个数各有多少呢?
　　先计算一下上面的分组总共有多少不同的方法.因为二分硬币有50个,所以有51种分法.类似地,五分硬币有20个,所以有21种分法.这样总共就有21×51种不同的分法.
　　再来看甲,乙两组的钱都是一元这种情形的分法有多少种?很明显,这时五分硬币必须有偶数个（为什么?）,所以五分硬币的数可以为0个,2个,……,20个,共有十一种分法.
　　根据情形（1）和情形（2）的对称性,容易知道（1）的个数为（21×51-11）÷2=530
　　（1）的个数加上（3）的个数是530+11=541（种）这就是答案.
　　【分析与讨论】这是一道思考与计算相结合的题.用解法1来做的同学比较多.但大部份同学都没有算对,也许是“数”不清楚吧.学会“数”数是数学原基本的功夫,可不能马虎.提高你的“数”数能力,不妨换个方法试试.