题目

若函数f(x+2)是偶函数,那么它的对称轴应该是多少
我知道应该是这样算的,因为是偶函数,所以f(x+2)=f(-x+2),所以对称轴是直线x=2,可是我不明白,我是这样想的：因为是偶函数,所以f(-x)=f(x),我把x+2看做一个整体,所以我认为f(x+2)=f(-x-2),请问我的想法为什么是错误的.

提问时间：2020-10-13

答案

为叙述方便,把x+2看做一个整体,可以设
x+2=t,则x=t-2.
∵f(x+2)是偶函数,
∴f(t)=f(-t),且图象关于t=0对称,
∴图象关于x+2=0即x=-2对称.
你认为的f(x+2)=f(-x-2),是对函数的理解有误.
按照偶函数的定义,把函数的自变量换成其相反数函数值不变,函数就是偶函数.
f(x+2)的自变量是x,而不是x+2,
因此f(x+2)是偶函数,只能把x换为-x得
f(-x+2)=f(x+2)（原函数）,并非f(x+2)=f(-x-2).