题目

初三 数学 二次函数 请详细解答,谢谢! (7 20:48:19)
已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点C,与X轴交于点A（x1,0)、B（x2,0)（x1＜x2）,顶点M的纵坐标为-4,若x1,x2是方程x2-2（m-1）x+m2-7=0的两个根,且x12+x22=10；
（1）求A,B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式和C点坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P,使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍?若存在,求出所有符合条件的点的左边；若不存在,请说明理由.
（需要过程,谢谢!）

提问时间：2020-10-13

答案

(1)
由x^2-2（m-1）x+m^2-7=0-------(1)
x1+x2=2(m-1)
x1*x2=m^2-7
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1*x2=(2(m-1))^2-2(m^2-7)=2(m^2-4m+9)=10
(m-2)^2=0
m=2
代入(1),得:
x^2-2x-3=0
x1=-1,x2=-3 (因x1＜x2)
所以:A的坐标(-1,0),B的坐标(3,0)
(2)
x1,x2也是ax2+bx+c=0 的两根
所以:y=a(x-x1)(x-x2)=a(x^2-2x-3)
y=a(x-1)^2-4a
而:顶点M的纵坐标为-4 (由上式M的坐标为(1,-4))
-4a=-4
a=1
抛物线的解析式:y=x^2-2x-3
当x=0,y=-3
C点坐标(0,3)
(3)
AB=3-(-1)=4
四边形ACMB的面积=三角形ABC面积+三角形ABM面积=(1/2)4*3+(1/2)4*4=14
三角形PAB的面积=14*2=28
设P的坐标为(k,q),
因三角形ABM面积0
则:三角形PAB的面积=(1/2)q*AB=2q=28
q=14
将(k,14)代入y=x^2-2x-3,得:
14=k^2-2k-3
k^2-2k-17=0
k=1+3(根号2),或k=1-3(根号2),
所以:P的坐标为(1+3(根号2),14),或 (1-3(根号2),14)