题目

已知函数f（x）=

−x2−2x，(x≤0) x，(x＞0)

，若函数g（x）=f（x）-m有3个零点，则实数m的取值范围是______．

提问时间：2020-10-13

答案

∵函数g（x）=f（x）-m有3个零点，
∴y=f（x）的图象与直线y=m有3个公共点
同一坐标系内作出它们的图象，如图
曲线y=f（x）在y轴左侧是开口向下的抛物线，
右侧是第一象限角平分线
∴y=f（x）在（-∞，-1）和（0，+∞）上是增函数，
在（-1，0）上是减函数
由此可得f（x）的极大值为f（-1）=1；极小值为f（0）=0
平移直线y=m，可得当m＜0或m＞1时，两个曲线有且仅有1个公共点；
当m=0或1时，两个曲线有2个公共点；当0＜m＜1时，两个曲线有3个公共点，此时f（x）=m有3个实数根
综上所述，若g（x）=f（x）-m有3个零点，实数m的取值范围是（0，1）
故答案为：（0，1）

函数g（x）=f（x）-m有3个零点，即方程f（x）=m有3个根．因此，在同一坐标系内作出y=f（x）的图象与直线y=m，观察它们公共点的个数即可得到本题的答案．

本题考点：函数的零点与方程根的关系；函数与方程的综合运用．

考点点评：本题给出分段函数，讨论了函数零点的个数．着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数的零点与方程根的关系等知识，属于基础题．