题目

已知实数a，b，c满足a+b+c=1，a²+b²+c²=3，则abc的最大值为___．

提问时间：2020-10-13

答案

由a+b+c=1，a²+b²+c²=3 可得
1=（a+b+c）²=a²+b²+c² +2ab+2bc+2ac=3+（2ab+2bc+2ac ），故有 ab+bc+ac=-1．
∴-1=ab+c（a+b）=ab+c（1-c），∴ab=c²-c-1．
又a+b=1-c，∴由韦达定理可知，a和b是关于x的方程 x²+（c-1）x+（c²-c-1）=0的两根．
∴△=（c-1）²-4（c²-c-1）≥0，整理可得3c²-2c-5≤0，解得-1≤c≤

5

3

．
再由ab=c²-c-1，可得abc=c³-c²-c．
构造函数f（x）=x³-x²-x，-1≤x≤

5

3

，
求导可得 f'（x）=3x²-2x-1=（x-1）（3x+1），令f′（x）=0，可得x=-

1

3

，或 x=1．
在[-1，-

1

3

）、[1，

5

3

）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
在（-

1

3

，1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数．
∴f（x）max=max{f（-

1

3

），f（

5

3

）}=

5

27

，
∴（abc）max=

5

27

，
故答案为

5

27

．

由条件可得 1=（a+b+c）²，化简可得ab+bc+ac=-1．求得ab=c²-c-1，又a+b=1-c，可得a和b是关于x的方程 x²+（c-1）x+（c²-c-1）=0的两根．由△≥0，解得-1≤c≤

5

3

．abc=c³-c²-c．利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

考点点评：本题主要考查二次函数的性质、韦达定理，利用导数研究函数的单调性，由函数的单调性求函数的最值，属于中档题．