题目

初二整式乘除与因式分解
1.已知△ABC的三边长a,b,c满足关系式-c²+a²+2ab-2bc=0,试说明△ABC是等腰三角形.
2.1×2×3×4+1=25=5²；2×3×4×5+1=121=11²；3×4×5×6+1=361=19²...根据上述规律,小强猜想：任意四个连续正整数的积与1个的和一定是一个完全平方数.小强的结论是否正确?如果正确,请证明这个结论；如果不正确,请说明理由

提问时间：2020-10-13

答案

因为-c²+a²+2ab-2bc=0
所以b²+a²+2ab=b²+2bc+c²
所以(a+b)²=(b+c)²
又a+b>0,b+c>0
所以a+b=b+c
所以a=c
所以是等腰三角形
设四个连续的数第一个为n,则
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
=n(n+3)(n+1)(n+2)+1
=(n² +3n)(n² +3n+2)+1
=(n² +3n)²+2(n²+3n)+1
=(n²+3n+1)²
所以,任意四个连续正整数的积与1个的和一定是一个完全平方数