题目

定义运算a*b为：a*b=

a(a≤b) b(a＞b)

，例如，1*2=1，则函数f（x）=sinx*cosx的值域为 ___ ．

提问时间：2020-10-12

答案

当x∈[2k+

π

4

，2kπ

5π

4

]时，sinx≥cosx，f（x）=cosx，
当x∈[2k+

π

4

，2kπ+

7

4

π]时此时函数的最大值为f（

π

4

+2kπ）=

2

2

，最小值为f（

3π

2

）=-1
当x∈[2kπ，2kπ+

π

4

]和x∈[2k+

7

4

π，2kπ+2π]时sinx≤cosx，则f（x）=sinx，函数的最大值为f（

π

4

+2kπ）=

2

2

，
最小值为f（

7π

4

+2kπ）=-

2

2

最后综合可知函数的值域为[-1，

2

2

]
故答案为：[-1，

2

2

]

依据题意可知首先看sinx≥cosx时，x的范围，进而求得函数的表达式，根据余弦函数的性质求得最大和最小值；再时，x的范围，进而求得函数的表达式sinx≤cosx，根据正弦函数的性质求得最大和最小值，最后综合可得答案．

本题考点：余弦函数的定义域和值域；正弦函数的定义域和值域．

考点点评：本题主要考查了正弦函数和余弦函数的定义域和值域．考查了学生分类讨论思想的应用．考查了学生的分析推理能力以及做题的细心程度．