题目

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3，又坐标原点到切线l的距离为

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，若x=

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时，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

提问时间：2020-10-12

答案

（1）由f（x）=x3+ax2+bx+c，得f′（x）=3x2+2ax+b，当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0．①当x=23时，y=f（x）有极值，则f′（23）=0，即4a+3b+4=0②联立①②解得a=2，b=-4．设切线l的方程为y=3x+m，由原点到切线...

（1）求出f′（x），由x=1时，切线l的斜率为3得，f′（1）=3；x=

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时，y=f（x）有极值，得f′（

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）=0；两者联立可解a，b值；设切线l的方程为y=3x+m，由原点到切线l的距离为

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，可得一方程，可得m，根据不过四象限，可确定m取舍；
（2）由（1）可得f（x）表达式，利用导数可求得函数极值、在区间端点处的函数值，对其进行比较即可得到最大值、最小值；

本题考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．

考点点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、利用导数求函数在闭区间上的最值问题，准确求导，熟练运算是解决该类问题的基础，属中档题．