题目
一个数的完全平方数有35个约数,求该数的约数个数共有多少个
提问时间：2020-10-12
答案
对于任意一个数 a,设 a 的质因数分解为：
a = p1^n1 * p2^n2 * ...* pr^nr
那么 a 的约数个数是：(n1+1)(n2+1)...(nr+1)
回到我们的问题.
x^2 有 35个约数.
因为 x^2 是完全平方数,所以它的质因数分解中,每个指数 ni 都是偶数.
所以,35 = (n1+1)(n2+1)...(nr+1),其中 ni 都是偶数.
35 = 1 * 35 = 5 * 7
所以,x^2 有两种可能的形式：
(1) x^2 = p^34
(2) x^2 = p1^4 * p2^6
对第(1)种情形,x = p^17,所以 x 有18个约数.
对第(2)种情形,x = p1^2 * p2^3,所以 x 有(2+1)(3+1) = 12个约数.
a = p1^n1 * p2^n2 * ...* pr^nr
那么 a 的约数个数是：(n1+1)(n2+1)...(nr+1)
回到我们的问题.
x^2 有 35个约数.
因为 x^2 是完全平方数,所以它的质因数分解中,每个指数 ni 都是偶数.
所以,35 = (n1+1)(n2+1)...(nr+1),其中 ni 都是偶数.
35 = 1 * 35 = 5 * 7
所以,x^2 有两种可能的形式：
(1) x^2 = p^34
(2) x^2 = p1^4 * p2^6
对第(1)种情形,x = p^17,所以 x 有18个约数.
对第(2)种情形,x = p1^2 * p2^3,所以 x 有(2+1)(3+1) = 12个约数.
举一反三
已知函数f（x）=x，g（x）=alnx，a∈R．若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值和该切线方程．
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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