题目
如图,已知抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),与x轴交于另一点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使△PBC为以点B为直角顶点的直角三角形,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,在抛物线上是否存在一点Q,使以P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形?若存在,请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.
提问时间:2020-10-12
答案
(1)把A(1,0),B(0,-3)代入y=x2+bx-3a,
得
,
解得
,
∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3;
(2)过点P作PD⊥y轴,垂足为D,
令y=0,得x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点C(-3,0),
∵B(0,-3),
∴△BOC为等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°,
∵PB⊥BC,
∴∠PBD=45°,
∴PD=BD.
∴可设点P(x,-3+x),
则有-3+x=x2+2x-3,
∴x=-1,
∴P点坐标为(-1,-4);
(3)由(2)知,BC⊥BP,
(i)当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上;
(ii)当BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,
∵B(0,-3),C(-3,0),
∴直线BC的解析式为y=-x-3,
∵直线PQ∥BC,
∴直线PQ的解析式为y=-x+b,
又P(-1,-4),
∴PQ的解析式为:y=-x-5,
联立方程组得
,
解得x1=-1,x2=-2,
∴x=-2,y=-3,
即点Q(-2,-3),
∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3).
得
|
解得
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∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3;
(2)过点P作PD⊥y轴,垂足为D,
令y=0,得x2+2x-3=0,
解得x1=-3,x2=1,
∴点C(-3,0),
∵B(0,-3),
∴△BOC为等腰直角三角形,
∴∠CBO=45°,
∵PB⊥BC,
∴∠PBD=45°,
∴PD=BD.
∴可设点P(x,-3+x),
则有-3+x=x2+2x-3,
∴x=-1,
∴P点坐标为(-1,-4);
(3)由(2)知,BC⊥BP,
(i)当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上;
(ii)当BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,
∵B(0,-3),C(-3,0),
∴直线BC的解析式为y=-x-3,
∵直线PQ∥BC,
∴直线PQ的解析式为y=-x+b,
又P(-1,-4),
∴PQ的解析式为:y=-x-5,
联立方程组得
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解得x1=-1,x2=-2,
∴x=-2,y=-3,
即点Q(-2,-3),
∴符合条件的点Q的坐标为(-2,-3).
(1)抛物线y=x2+bx-3a过点A(1,0),B(0,-3),把两点代入联立解方程组求得a、b.
(2)令y=0,得x2+2x-3=0,可以解得C点坐标,过点P作PD⊥y轴,垂足为D,可证PD=BD,进而求出P点坐标.
(3)由(2)知,BC⊥BP当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上,若BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,可求出直线PQ的解析式,直线与抛物线联立,求得P坐标.
(2)令y=0,得x2+2x-3=0,可以解得C点坐标,过点P作PD⊥y轴,垂足为D,可证PD=BD,进而求出P点坐标.
(3)由(2)知,BC⊥BP当BP为直角梯形一底时,由图象可知点Q不可能在抛物线上,若BC为直角梯形一底,BP为直角梯形腰时,可求出直线PQ的解析式,直线与抛物线联立,求得P坐标.
二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式;直角梯形.
本题是二次函数的综合题,涉及的知识面很广,会求抛物线的解析式,直线和抛物线的交点问题.此题有点繁琐.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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英语翻译
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