题目

已知函数f(x)= log1/2 (x+√（x²-2）)的反函数为f-1(x)
(1) 设g(n)= √2 f-1(n+ log1/2 √2),n属于N
试判断是否对任意自然数n,均有g(n)

提问时间：2020-10-12

答案

f(x)= log1/2 (x+√（x²-2）)
=-log 2 [2/(x-√（x²-2）]
=log 2 [(x-√（x²-2）/2]
=log 2 (x-√（x²-2）) -1
则
n+ log1/2 √2=f(g(n)/√2)
=log 2 (g(n)/√2-√（g(n)^2/2-2）) -1
即n-log 2 √2=log 2 (g(n)/√2-√（g(n)^2/2-2）) -1
n-1/2=log 2 (g(n)/√2-√（g(n)^2/2-2）) -1
n+1/2=log 2 (g(n)/√2-√（g(n)^2/2-2）)
g(n)/√2-√（g(n)^2/2-2)=2^(n+1/2)
√（g(n)^2/2-2)=g(n)/√2-2^(n+1/2)
平方得
g(n)^2/2-2=g(n)^2/2+2^(2n+1)-√2·g(n)·2^(n+1/2)
=g(n)^2/2+2^(2n+1)-g(n)·2^(n+1)
∴g(n)·2^(n+1)=2^(2n+1)+2=2·(4^n+1)
g(n)·2^n=4^n+1
g(n)=2^n+2^(-n)
下面就可能用数学归纳法证明是否对任意自然数n,均有2^n+2^(-n)