题目

函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，且当x＞0时，xf′（x）-f（x）＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集是______．

提问时间：2020-10-12

答案

法一：若f（x）在（-∞，-1）上为减函数，则f（x）＞0，f'（x）＜0则xf′（x）-f（x）＞0不成立若f（x）在（-∞，-1）上为增函数，则f（x）＜0，f'（x）＞0则xf′（x）-f（x）＞0成立故：f（x）在（-∞，-1）上时，...

法一：由函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）=0，则f（-1）=f（0）=f（1）=0，则可以将定义域R分为（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）四个区间结合单调性进行讨论，可得答案．
法二利用那个恒成立式子比上x²构造一个函数F（x）=

f(x)

x

，由此恰好得到F（x）在（0，+∞）是递增函数，且f（1）=0得到，故在（0，1）上F（x）＜0，（1，+∞）上F（x）＞0再由奇函数关于原点对称，因此得到答案：（-1，0）∪（1，+∞）

本题考点：函数奇偶性的性质；函数恒成立问题；不等式的证明．

考点点评：解答本题的关键是根据已知条件，结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化，是高中阶段必须要掌握的一种方法．