题目

已知定义在正实数集上的函数f(x)=1/2x^2+2ax,g(x)=3a^2Inx+b,其中a>0.设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同.
（1）.若a=1.求b的值
（2）.用a代表b,并求出b的最大值

提问时间：2020-10-12

答案

1、
a=1时,
f(x)=(1/2)x²+2x,
g(x)=3lnx+b,
f'(x)=x+2=g'(x)=3/x,
结合x>0,解得x=1,
g(1)=b=f(1)=5/2,
即b=5/2,
2、
f'(x)=x+2a,
g'(x)=3a²/x,
f'(x)=g'(x),x>0,a>0,
解得x=a,
g(a)=3a²lna+b=f(a)=(5/2)a²,
所以
b=(5/2)a²-3a²lna
=a²(5/2-3lna),
b'=5a-3(2alna+a)
=2a-6alna
=2a(1-3lna)
所以
a