题目

设f(x)在[0,1]上可导且满足f(1)等于 xf(x)在[0,1]的定积分证明：必有一点t属于（0,1）,使tf`(t)+f(t)=0

提问时间：2020-10-12

答案

f(1)=∫{从0到1} xf(x)dx
用积分中值定理：
在(0,1)上存在一点m,使得f(1)=[mf(m)]*(1-0)=mf(m)
构造函数g(x)=xf(x)
g(1)=f(1)
g(m)=mf(m)=f(1)
所以g(1)=g(m)
在(m,1)上用拉格朗日中值定理,必定存在一点t,使得g'(t)=0
即tf'(t)+f(t)=0