题目

已知点M（-2,0）,N（2,0）,动点P与M,N两点的连线的斜率之积为t（t不等于0且t不等于-1）
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）当t<0时,曲线C的两个焦点为F1,F2,若曲线C上存在点Q使得角F1QF2=120°,求t的取值范围

提问时间：2020-10-12

答案

（1）设P(x,y),
y/(x+2)*y/(x-2)=t,
y^2=t(x^2-4),为所求.
（2）t<0时-tx^2+y^2=-4t,
x^2/4+y^2/(-4t)=1,
-1设F1Q=m,则F2Q=4-m,由余弦定理,
4c^2=m^2+(4-m)^2+m(4-m)
=m^2-4m+16,
16(1+t)=m^2-4m+16,
t=(m^2-4m)/16=[(m-2)^2-4]/16,2-c<=m<=2+c,
∴t的取值范围是[-1/4,0);
t<-1时a=2√(-t),c=2√(-t-1),仿上,
4c^2=m^2+[4√（-t)-m]^2+m[4√(-t)-m],
-16(t+1)=m^2-4m√(-t)-16t,
√（-t)=m/4+4/m>=2
(∵a-c<=m<=a+c,
02∴t<=-4.
综上,t的取值范围是(-∞,-4]∪[-1/4,0).