题目

将37拆成若干个不同质数的和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的最小乘积是多少？

提问时间：2020-10-12

答案

小于37的质数由小到大排列：
2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31（共11个），
由于2+3+5+7+11＜37，而2+3+5+7+11+13＞37．因此最多拆成5个不同质数之和．但由于37是奇数，拆除的5个不同质数中不能有偶质数2，否则其余4个奇质数之和为偶数，这5个质数和为偶数，不可能等于奇数37，而3+5+7+11+13=39＞37．因此最多拆成4个不同质数之和，为此，我们依照被拆出的最大质数从大到小依次研究：
（1）37=31+6（6不能用2，3，5相加得到）；
（2）37=29+8=29+5+3，只有一种拆法；
（3）37=23+14=23+11+3=23+7+5+2，共有两种拆法；
（4）37=19+18，而18=13+5=13+3+2=11+7=11+5+2，所以有：37=19+13+5=19+13+3+2=19+11+7=19+11+5+2，共有四种拆法；
（5）37=17+20，而20=13+7=13+5+2=11+7+2，所以有：37=17+13+7=17+13+5+2=17+11+7+2，共有三种拆法；
综合以上可以得到：1+2+4+3=10（种）不同的拆法．
其中最小的乘积是：29×5×3=435．