题目

求证：当x≥4时，

x

＞lnx．

提问时间：2020-10-12

答案

证明：

x

＞lnx等价于

x

−lnx＞0
设函数f(x)＝

x

−lnx(x＞0)，
则f′(x)＝

1

2

×

1

x

−

1

x

＝

x −2

2x

，
令f'（x）=0，解得x=4，
当x＞4时，f'（x）＞0，
当x＜4时，f'（x）＜0，
∴当x=4，f（x）取得极小值，
∴f（x）的单调递增区间是[4，+∞），
f（x）≥f（4）．
又当x=4时，f（x）=f（4）=2-ln4＞0
∴x≥4时，f（x）＞0，
即

x

−lnx＞0，
∴

x

＞lnx成立．

设函数f(x)＝x−lnx(x＞0)，则f′(x)＝12×1x−1x＝x−22x，令f'（x）=0，求出函数f（x）的单调区间，从而证明x＞lnx成立．

本题考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

考点点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，不等式的证明，本题属于中档题．